Что такое сложные проценты? В чем их суть, как начисляются сложные проценты
Начисление процентов по сложной ставке
Сложный процент — это те деньги, которые вы зарабатываете, повторно инвестируя все ранее заработанные проценты. Сложные проценты объясняют, как богатые становятся богаче. Приведенная далее статья объясняет, как рассчитывать сложные проценты и предлагает полезный рациональный способ, названный «Правило 72», а также еще несколько практически полезных вещей для любого инвестора.
А начнем мы с простой задачки, на сложные проценты. Вероятно, вы слышали эту старую банальность: что вы предпочтете — получить миллион долларов наличными сейчас, или открыть на 31 день депозит в один цент под 100 процентов в день с капитализацией сложных процентов?
Все ответы далее…
Правильный ответ заключается в том, что нужно выбрать второе, так как это принесет сумму в 10 737 418.24 $. Звучит маловероятно, но математика показывает это:
День 1: 0.01 $
День 2: 0.01 х 2 = 0.02 $
День 3: 0.02 х 2 = 0.04 $
День 4: 0.04 х 2 = 0.08 $
День 11: 10.24 $
День 22: 20 971.52 $
День 31: 10 737 418.24 $
Теперь несложно понять, почему Альберту Эйнштейну приписывают слова: «Сложные проценты — это самая большая сила во Вселенной». Ведь именно сложные проценты делают богатых богаче.
Сложный и простой процент
Процент на капитал определяется, как стоимость займа денег, и в зависимости от того, как рассчитывается эта стоимость, процент на капитал можно классифицировать, как простой процент или сложный процент.
Простые проценты начисляются на основную или первоначальную сумму займа. Сложный процент начисляется на основную сумму и на накопленный процент за предыдущие периоды, и, тем самым, может восприниматься, как «процент на процент».
Величина суммы оплаты займа может значительно различаться, если процент вычисляется, как сложный, а не как простой. Положительным моментом здесь является то, что магия сложных процентов может работать в вашу пользу, если дело касается ваших инвестиций, и может стать мощным фактором в создании капитала.
В то время как простые и сложные проценты являются основными финансовыми понятиями, тщательное ознакомление с ними позволит принять более правильные решения при взятии кредит или осуществлении инвестиций. Это может сэкономить вам тысячи долларов в долгосрочной перспективе.
Практические примеры
Простой процент
Формула расчета простого процента выглядит так:
Простой процент = Основной капитал х Процентная ставка х Период займа = P x i x n
Тогда общая величина простого процента при процентной ставке в 5% и величине займа в 10 000 $ за период в три года будет равна 10 000 $ х 0.05 х 3 = 1 500 $. Процент по займу выплачивается ежегодно в сумме 500 $, что составит за три года сумму в 1 500 $
Сложный процент равен
Формула для вычисления сложного процента за год выглядит сложнее:
Сложный процент = сумма основного капитала и процента в будущем (будущее значение) минус величина основного капитала в настоящем (настоящее значение)
= [P (1 + i)n] — P
= P [(1 + i)n — 1],
где P — основной капитал, i — процентная ставка, а n — число периодов наращения в году.
Возвращаясь к предыдущему примеру, что можно сказать о величине процента, если он будет рассчитываться, как сложный процент? В этом случае, он будет равен:
10 000 $ [(1 + 0.05)3 — 1] = 10 000 $ [1.157625 — 1] = 1 576.25 $.
В результате, общая сумма выплачиваемых процентов за три года составит 1 576.25 $. Эта величина не равна сумме простых процентов за все три года, поскольку, в отличие от простого процента, сложный процент учитывает накопленную сумму процентов предыдущих периодов. Проценты, выплачиваемые в конце каждого года, показаны в приведенной ниже таблице
| Год | Начальное сальдо | Процент при 5% | Конечное сальдо |
| 1 | 10 000.00 $ | 500.00 $ | 10 500.00 $ |
| 2 | 10 500.00 $ | 525.00 $ | 11 025.00 $ |
| 3 | 11 025.00 $ | 551.00 $ | 11 576.25 $ |
| Общая сумма дохода 1 576.25 $ | |||
Периоды наращения
При вычислении сложного процента главную роль играет количество периодов наращения, попросту — период инвестиций.
В общем случае, чем больше число периодов наращения, тем больше величина сложного процента. Поэтому, для каждых 100 $ займа за определенный период, величина процента при 10% годовых будет ниже, чем при 5%, полугодовых что, в свою очередь будет ниже, чем процент, полученный при ежеквартальное ставке в 2.5%.
То есть, стоящая в скобках величина «i» должна быть поделено на «n» (количество периодов наращения в год). Стоящую вне скобок величину «n» нужно умножить на «t», общую длительность инвестирования.
Тем самым, для 10-летнего займа, при полугодовой капитализации (количество периодов наращения = 2), i = 5% (т.е., 10% / 2), а n = 20 (т.е., 10 х 2).
Для вычисления общей суммы сложных процентов нужно использовать следующую формулу:
= [P (1 + i/n)nt] — P = P [(1 + i/n)nt — 1], где P — основной капитал, i — годовая процентная ставка, n — число периодов наращения в году, а t — продолжительность инвестиции или займа в годах.
Следующая таблица демонстрирует разницу, к которой может привести количество периодов наращения для займа 10 000 $ на срок в 10 лет.
| Частота наращения | Число периодов |
Величины i/n и nt | Общий доход |
| Ежегодное | 1 | i/n = 10%, nt = 10 | 15 937.42 $ |
| Полугодовое | 2 | i/n = 5%, nt = 20 | 16 532.98 $ |
| Ежеквартальное | 4 | i/n = 2.5%, nt = 40 | 16 850.64 $ |
| Ежемесячное | 12 | i/n = 0.833%, nt = 120 | 17 059.68 $ |
В следующем параграфе мы предложим ряд основных понятий, имеющих отношение к начислениям сложных процентов.
Временная стоимость денег
Поскольку деньги не являются «бесплатными», а имеют цену в терминах выплачиваемых процентов, отсюда следует, что сегодня доллар стоит больше, чем он будет стоить в будущем. Эта концепция известна как временная стоимость денег (зависящая от времени), и она образует основу для относительно развитых методов, таких как анализ дисконтированного денежного потока (DCF). Предоставление скидок является противоположностью сложным процентам, и скидка в процентах может рассматриваться как понятие, обратное к процентной ставке. Это тот коэффициент, на которой нужно умножать будущую стоимость денег, чтобы получить их сегодняшнюю стоимость.
Формулы для получения будущей стоимости (FV) и сегодняшней стоимости (PV) денег выглядят следующим образом:
FV = PV (1 +i/n)nt и PV = FV / (1 + i/n)nt
Например, будущая стоимость 10 000 $ при ставке 5% в год с учетом сложных процентов через три года составит:
= 10 000 $ (1 + 0.05)3
= 10 000 $ (1.157625)
= 11 576.25 $.
Сегодняшняя стоимость 11 576.25 $ со скидкой в 5% годовых за три года будет равен
= 11 576.25 $ / (1 + 0.05)3
= 11 576.25 $ / 1.157625
= 10 000 $
Обратная величина к 1.157625, равная 0.8638376, и является в данном примере коэффициентом дисконта.
Правило 72
Это правило вычисляет приблизительное время, в течение которого инвестиции удвоятся при ставке дохода «i». Это время примерно определяется формулой (72 / i). Правило 72 может быть использовано только при ежегодном начислении сложных процентов.
Например, если инвестиция осуществлена под 6% годовых, то ежегодный доход удвоится через 12 лет. При ставке в 8% ежегодный доход удвоится через 9 лет.
Сложный годовой темп роста (GAGR)
Показатель сложного годового темпа роста (GAGR), или роста с учетом сложных процентов, используется для большинства финансовых приложений, которые требуют вычисления единого показателя роста в течение определенного периода времени.
Например, если портфель ваших инвестиций за пять лет вырос с 10 000 $ до 16 000 $, то каков будет GAGR? В сущности, это означает PV = -10 000 $, FV = 16 000 $, а nt = 5, и нужно вычислить значение «i». Используя финансовый калькулятор, или электронную таблицу Excel, можно показать, что i = 9.86%.
(Заметим что согласно соглашению о движению денежной наличности ваши начальные инвестиции (PV) в 10 000 $ показаны со знаком минус, поскольку они представляют отток фондов. PV и FV обязательно должны иметь разные знаки для получения «i» из приведенного выше уравнения).
Применения в реальной жизни
- Сложный годовой темп роста (GAGR) часто используется для вычисления дохода в течение заданных периодов времени, для акций, для взаимно предоставляемых фондов и портфеля инвестиций. GAGR также используется для выяснения того, не превысил ли управляющий фонда рыночный уровень доходности за определенный период времени. Например, если индекс рынка за пятилетний период составил 10%, но фонд получил обобщенный годовой доход за тот же период только в 9%, то значит, что руководство фонда приложило недостаточные усилия.
- Показатель GAGR также может быть использован для расчета ожидаемого роста инвестиционного портфеля в течение длительного периода времени, что бывает полезно для таких целей, как пенсионные накопления. Вот несколько примеров:
- Не склонный к риску инвестор может чувствовать себя счастливым при скромном годовом доходе в 3% на свой инвестиционный портфель. Сегодняшний его портфель объем в 100 000 $ через двадцать лет вырастет до величины в 180 611 $. С другой стороны, рискованный инвестор, ожидающий 6% годового дохода, увидит рост 100 000 $ после 20 лет до 320 714 $.
- Показатель GARG может быть использован для оценки того, сколько требуется откладывать, чтобы сэкономить средства для конкретной цели. Семейная пара, которая хотела бы накопить в течение 10 лет 50 000 $ с целью снижения платежей по закладной, должна будет ежегодно откладывать 4 165 $ в предположении, что ежегодный доход (GAGR) составит 4% от их сбережений. Если они готовы на небольшой риск, и ожидают GAGR в 5%, то ежегодно им будет нужно откладывать уже 3 975 $.
- Величина CAGR также может быть использована для демонстрации достоинства раннего начала инвестирования. Допустим, целью является получение 1 миллиона долларов к моменту выхода на пенсию в возрасте 65 лет. Основываясь на GAGR в 6% 25-летний человек для достижения этой цели должен вкладывать ежегодно 6 462 $. А если начать инвестировать в 40 лет, то для достижения той же цели потребуется откладывать ежегодно 18 227 $, что почти в три раза больше.
GAGR часто появляется в экономических данных. Например, ВВП Китая на душу населения увеличился с 193 $ в 1980 году, до 6 091 $ в 2012 году. Каков же ежегодный рост ВВП на душу населения за этот 32-летний период? В данном случае он составил впечатляющую величину в 11.4%.
Что следует учитывать
- Убедитесь, что вы знаете точную годовую плату (APR) за взятый кредит, поскольку метод расчета и количество периодов наращения может оказать значительное влияние на ваши ежемесячные платежи. Хотя банки и финансовые организации имеют стандартные методы расчета процентной ставки при платежах по закладным и другим кредитам, эти расчеты могут несколько отличаться в различных округах.
- Сложные проценты могут работать на благо вам, когда речь идет о ваших инвестициях, но и при оплате кредита они тоже могу работать в вашу пользу. Например, оплачивая закладную дважды в месяц, вместо того, что производить один полный платеж раз в месяц, вы сможете снизить период амортизации и сэкономить заметное количество денег.
- Сложные проценты могут работать против вас, если вы оплачиваете займы с очень высокой процентной ставкой. К таким займам относятся погашение кредита по карте или выплата задолженности по рассрочке в универмаге. Например, кредитная карта с балансом в 25 000 $ имеет процентную ставку в 25%, ежемесячно начисляемую в виде сложных процентов. Это приводит к сумме платежей в 5 485 $ за год, или 457 $ в месяц.
Итоги
Заставьте магию сложных процентов работать на себя, регулярно инвестируя и увеличивая частоту своих выплат по кредиту. Знание основных понятий, относящихся к начислению сложным процентов, поможет вам принимать более правильные финансовые решения, сохранить тысячи долларов и со временем увеличить ваш чистый капитал.